五角大楼平铺证明解决了世纪古老的数学问题(Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem)

法国数学家已经完成了所有凸五边形的分类,因此完成了平铺平面的所有凸多边形。

几何中最古老的问题之一就是要求平铺的形状,与自己的副本一起锁定,以覆盖一个称为曲面细分的无尽图形的平坦区域。MC Escher的镶嵌蜥蜴和其他生物的图画说明了无限多种形状可以做到这一点。当数学家只考虑凸多边形时,库存量减少到有限但虽然仍然强大的任务:简单的平边形状,如三角形和矩形,其角度都以相同的方向弯曲。现在,一位37岁的科学家数学家(法国国家科学研究中心)和里昂的法国高校里昂的数学家MichaëlRao的新证明,终于完成了通过征服最后一次遏制而平铺飞机的凸多边形分类:

尝试放置常规五边形 - 具有相等角度和侧面的边缘 - 边缘和边缘很快形成; 他们不平铺。古希腊人证明,瓦片是三角形,四边形和六边形的唯一常规多边形(如现在在许多浴室地板上看到的)。但是将南瓜和五边形拉伸成不规则的形状,并且可以进行倾斜。在他1918年的博士论文中,德国数学家卡尔·赖因哈特确定了五个类型的不规则凸五边形的瓷砖面的:他们通过共同的规则定义的家庭,如“边等于侧b ”,“ Ç等于Р”和“角AC都等于90度。"

CONVEX PENTAGON(凸五角形)

当你绕着形状旅行时,你总是朝着同一个方向转动。

CONCAVE PENTAGON(凹五边形)

当你绕着形状旅行时,你左右转。

 

Reinhardt不知道他的五个家庭是否完成了名单,进度停滞了五十年。然后,在1968年,约翰霍普金斯大学的理查德·克什纳(Richard Kershner)发现了三种类型的镶嵌凸五角形,声称证明没有其他的存在。但是Kershner的论文没有提出证据,他的名单是详尽无遗的“出于很好的理由”,读了一个介绍性的说明,“一个完整的证明将需要一本相当大的书。

马克·加德纳(Martin Gardner)在科学美国人的科学数学专栏中出现了克什哈纳五角大楼的新闻,于1975年传播给群众。但不久之后,像Marjorie Rice,圣地亚哥的家庭主妇,高中数学教育的读者,发现了除了Kershner以外的新鲜的五角大楼。(Rice发现四人,一名名叫理查德·詹姆斯的计算机程序员找到了一名。)家庭名单增长到13岁,1985年增至14岁。然后,2015年,华盛顿大学数学副教授Casey Mann,合作者使用电脑搜索发现第15类型的镶嵌凸五边形。

当饶尔听到曼恩和他的团队的发现时,他开始做一个彻底的搜索,一次完成镶嵌凸五角子的分类。

在他的新计算机辅助证明,饶确定五边形角有371种可能的情况下,可以一起在一个平铺,然后他检查所有这些。最后,他的算法确定只有15个已知的五角大厦家族能够做到这一点。他的证明闭凸多边形,飞机在15个五边形瓷砖领域,三种六边形都被莱因哈特在他的1918篇论文和所有的四边形和三角形。(没有铺砌的七或更多边的凸多边形的存在。)

曼恩说,他和他的合作者一听到法国的消息就一直在努力采取一个彻底的证明。“饶我们打了个拳头,”他说,加了一口气,“哪个很好,因为它节省了大量的工作。”

为什么不能用多于六面的多边形平铺平面?

 

考虑七面七边形,为简单起见,仅考虑顶点到顶点的倾斜(在边缘中间仅具有顶点仅仅会使问题复杂化)。七边形内角的总和为900度,平均角度为900/7度。平铺中的每一个顶点都具有360度的角度,以满足那里的角落,所以平均来说,360 /(900/7)= 2.8的七边形将适合每个顶点。但是由于至少三个七边形必须在每个顶点相遇 - 否则它是一个边缘 - 平均2.8是不可能的。随着凸多边形的边数增加,问题越来越严重。

匹兹堡大学数学教授托马斯·哈利斯(Thomas Hales),以及使用计算机程序设计来解决几何问题的领导者,他独立地重现了饶师证书最重要的一半,表明没有错误。饶还必须提交同行评议的出版证明,但哈尔斯已经感到自信了。

一段旅程的凸多边形面片端分类,另一个是刚刚开始。拉奥,像许多瓷砖专家,寻找难以捉摸的“爱因斯坦”,一个假设的形状只能平铺平面非周期性,在一个方向,永远不会重复图案的瓷砖。它的名字与这位著名的物理学家无关,而是德国人的“一块石头”。“对于每一个在瓷砖上工作的人来说,这是一种圣杯, “拉奥说。他认为他的五角大厦证明是这个更大的探索的早期里程碑。

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在他的证明中,饶首先表明,只有有限数量的情景,凸五角形的角如何组合在一起,需要检查镶嵌。他使用简单的几何守恒定律来限制五角形的角落,标记为1到5,可能会在平铺的顶点遇到。这些条件包括角度1至5的总和必须等于540度 - 任何五边形的总和 - 所有五个必须平等地参与平铺,因为它们都是每个五边形瓦片的一部分。更重要的是,如果某些角落沿着另一个五边形的边缘相交,则相邻五边形的角落都会在那里,或者是180度,则给定顶点的角度总和必须总是等于360度。

加利福尼亚大学戴维斯分校数学教授格雷格·库珀伯格(Greg Kuperberg)表示,通过强加这些规则,饶发现,除了371个情景之外,角度方程或百分比(指出不同角度出现的频率)是自相矛盾的。。库珀伯格说:“但是他的电脑跑得很好,有限数量的”好套餐“,不知道饶有可能的角度条件。

在他的论证中的两个主要步骤二,拉奥穿过好几套逐一检查是否满足这些条件存在的角的面砖。当谈到编码,这是“更复杂的部分,”拉奥说。

“对于371个场景中的每一个,”Kuperberg解释说,“他的算法试图通过仅使用允许的顶点配置来放置一个瓦片来拼凑一个瓦片。”在搜索这371个可能性的树中,算法布朗大学数学家Rich Schwartz解释说,一棵树上的每条路径都导致了15个已知家庭之一的五角大楼,或者说“树上的所有路径都会在有限的步骤之后导致悲伤。” 相关问题

饶说,他感到失望,没有发现任何额外的家庭,但是专家说,证明一个15的完整列表比仅仅找到一个新的工作例子更重要。

详尽的证明也有助于指导搜索假想的爱因斯坦 - 这个令人垂涎的拼图与自己锁定在一个不断变化的瓦片取向顺序。

Kuperberg说:“饶有突破性结果的一个结论是,没有一个单面的凸多边形非周期性地平铺平面。由于所有15个镶嵌的凸五边形(和所有其他凸多边形)周期性地平铺平面,意味着定期重复的瓦片取向序列,爱因斯坦(如果存在)必须是凹形的,锯齿状的角部向内弯曲,向外像一颗星星的角落。

寻求爱因斯坦

专家说,有很多理由认为爱因斯坦存在,尽管它的形状可能非常复杂。这样一个难以捉摸的形状将需要非周期性地镶嵌飞机,只增加了它的魅力。

PENROSE TILING example
SOCOLAR-TAYLOR TILING example: The tile locks together with itself nonperiodically, in an ever-changing sequence of tile orientations.

(PENROSE TILING示例
SOCOLAR-TAYLOR TILING示例:瓷砖与其自身非周期性锁定,以不断变化的瓷砖取向顺序。)

当您具有至少两种不同形状的瓷砖时,存在非周期性倾斜 - 例如,着名的彭罗斯平铺 - 或使用由未连接的零件组成的奇怪瓷砖时,称为Socolar-Taylor瓷砖。但是,是否存在可以完成该作业的单个连接的瓦片,以及它的属性可能是什么,仍然是未知的。曼恩说,爱因斯坦的存在“被认为是可能的,因为它与另一个非常关键的问题在平铺理论中被称为决策问题。“问题是,如果有人给你一块砖,你可以想出一个计算机算法,它将作为输入,并且说”是的,这是平铺飞机“,或者,”不,不是吗? ”

“大多数人认为这种算法存在太多复杂性,”Mann说。研究人员已经证明,不存在可以决定不同形状的任意集合是否平铺平面的算法。许多专家怀疑,虽然没有证明,单块决策问题也是“不可判定的”。以落后的方式,这意味着爱因斯坦瓷砖的存在。由于“很容易检查某些事物是否定期”,Mann表示,如果单一形状只能定期平铺飞机,那么决定问题应该是可判定的。爱因斯坦瓷砖的存在和单砖决策问题的硬度是并存的。

饶计划把他的算法放在爱因斯坦的踪迹上,尽管他认为凹形代表了比凸的更大的组合问题。其他专家也很高兴听到他的发言。最近,饶和一位合作者证明了王牌瓦片非周期性的不同结果 - 如果颜色匹配,彩色边缘只能并排放置。以前的工作表明,王牌的收藏存在,只会引起非周期性的倾向。“第一个被发现有超过2万块瓷砖,”曼恩说。“那后来减到了14.饶了,证明你可以用11块瓷砖做到这一点。所以他也是把这个问题搞定了。他在哭。“

本文于2017年7月12日更新,以澄清MichaëlRao大学的隶属关系,并于7月13日再次明确表示,爱因斯坦瓦片只能非周期地平铺飞机。

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