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他解开了困扰数学家几十年的方程:现在,唯一的未解之谜只剩42了

图片来源:Pixabay

 

一位数学家最近求出了方程 33 = x³+ y³+ z³ 的一组整数解,令同行和数学爱好者非常兴奋。这种形式的方程看起来简单,实际上却需要借助最先进的计算机才能找到答案。现在,100以内的所有整数中不确定能否写成x³+ y³+ z³形式的,就剩下42了。

 

编译 | 杨莉昕 戚译引

数学家一直想知道数字 33 能否写成三个整数立方之和的形式,也就是说,方程 33 = x³+ y³+ z³ 是否有整数解最近,英国布里斯托大学(University of Bristol)的数学家 Andrew Booker 终于破解了这个难题,他发现:

(8,866,128,975,287,528)³

+

(–8,778,405,442,862,239)³

+

(-2,736,111,468,807,040)³ 

=

33

相关论文已经以预印本形式发表(论文链接),数论学家和数学爱好者们为之欢呼雀跃。这个方程虽然一眼就能看懂,实际上它却可以追溯到数学中最古老的谜题之一,对这个领域的探索将对我们理解整数的性质甚至计算机的运行带来启发。

丢番图方程

k = x³ + y³ + z³ 问题是丢番图方程(Diophantine equation)的一种形式,其中 x、y、z 和 k 均为整数。这个方程以古希腊数学家丢番图命名,但它可以追溯到古巴比伦时代。费马那句著名的“我想到了一个绝妙的证明,但是这页边空白太小了写不下”,最初就写在这条方程旁边。(费马大定理:当整数 n>2 时,关于 x, y, z 的不定方程 xn + yn=z没有整数解。)

据考证,费马读的是 1621 年出版的《算数》,右侧空白就是那个写不下证明的地方。图片来源:Wikipedia

在这个“三次方之和”问题中,对于 k 的不同取值,方程可能无解,也可能存在无限多解。例如,当 k=29,我们很容易想到 29 = 3³ + 1³ + 1³。还有一些情况,例如对 k=32,方程没有整数解。

自从 1955 年以来,数学家就尝试借助计算机解决这一问题。一些方程的解数字十分庞大,比如 k=26 的情形,26 = (114,844,365)³ + (110,902,301)³ + (–142,254,840)³。在排除无解的数字之后,数学家一般用穷举法计算方程的解,也就是简单粗暴地一个个尝试可能的选项。在 1999 年,有数学家算出了 k=30 的一组解,这三个数字中有两个是负数,都包含 9 到 10 位数字,看起来更像是彩票号码。

到 2015 年,对 100 以下的 k 值,还没有被解决的数字只剩下33、42 和 74。对于 k=33,当时数学家们已经对 1014 以下的数字进行了搜索,却一无所获。到 2016 年 4 月,法国数学家 Sander Huisman 在 1015 以下的数字中进行搜索,解出了 k=74 对应的方程,代价是约十万个 CPU 小时的运算量。

到这个时候,100 以内还未找到整数解的 k 值只剩下 33 和 42。

 

加速“彩票游戏”

2015 年,YouTube 数学频道 Numberphile 发布了一个介绍丢番图方程的视频。这个视频非常火爆,如今已经有超过 140 万次观看。尽管 Numberphile 一再温馨提醒观众“不要尝试暂停视频亲自计算”,它却引起了数学家 Andrew Booker 的强烈兴趣。(有趣的是,前文解出了 k=74 对应方程的法国数学家也是通过这个视频“入坑”的。)

Booker 设计了一种简单的算法,大大提高了搜索的效率,并且他将搜索上限提升到 1016。具体而言,他对方程做了一些简单的变换:

 x3+y3+z3=33
 x3+y3=33-z3
(x+y)(x2-xy+y2)=33-z3

由于 x+y 为非零整数,方程可以被转换为:

     x2-xy+y2=(33-z3)/d
x+y=d

只要选定 z 和 d 的值,那么这就是一个二元二次方程组。计算机要做的就是针对不同的 z 值和 d 值,一一确定方程组是否有整数解。

Andrew Booker 接受 Numberphile 采访。图片来源:https://youtu.be/ASoz_NuIvP0

Booker 告诉 Quanta Magazine,之前的算法“不知道它们在找什么”,它们可以在给定范围内对整数进行搜索,寻找方程 k = x³ + y³ + z³ 的解,其中 k 为任意整数;也就是说,旧的算法不能针对特定的 k 求出方程的解,比如对于 k = 33,而他的算法可以。也正因此,相比于那些没有目标的算法而言,它的运行速度“在实际运用中要快 20 倍”。

Booker 使用了大学里的超级计算机,他原本以为要花上六个月,但实际上只用了三个星期。在 Numberphile 发布的新视频中,Booker 回忆起找到答案的那天:“计算机在(2 月 27 日)早上 9 点 05 分找到了答案。当时我刚刚送孩子们去上学,然后走进校园。大约九点半的时候,我来到办公室,就看到了这个。”

计算机从千万亿种可能性中筛选出了这三个奇怪的 16 位整数。经过验算,Booker 高兴得在办公室里跳了起来。

 

“42 是新的 33”

这个发现当然也有超级计算机算力提升的功劳。Booker 笑称,那三个解对应的数字他自己都背不下来。这样的计算显然不是人力能够完成的。

直到不久之前,计算机还无法实现在数轴上正负均达 1016 (或者说一千万兆)的范围进行搜索,寻找方程的解;如今,Booker 还计划将搜索范围提升到 1017,以寻找 k=42 对应的解他已经确定 1016 范围内不存在解。在 100 以内的整数中,去掉不存在解的整数之后,无法表示成三个整数的立方之和的如今只有 42 了。

Booker 和其他专家表示,每个新发现的解并不会为寻找下一个解提供线索。再说即便“解决”了 42,数论学家仍会面临 101 至 1000 之间的 11 个尚未找出解的更“顽固”的整数。Booker 说:“我认为这些研究目标的有趣程度还不足以证明花费大笔钱款随意占用一台超级计算机是值得的。”

如果解丢番图方程就像买彩票,为什么还要在这上面花这么大力气呢?

数论学家感兴趣的是丢番图方程的性质。例如,目前不存在能够可靠判断任意给定的丢番图方程是否有解的数学方法。有数学家认为,当 k 除以 9 的余数为 4 或 5 的时候,方程 k = x³ + y³ + z³无解(例如当 k=32,32=9x3+5,这时候方程无解)。这个猜想已经通过了初步检验,但是目前还未得到严谨的证明。

丢番图方程的解必须为整数,并且不同 k 值对应的解十分随机和分散,对相差不大的 k 值(例如 29 和 33),可能一个能轻松地找到一组较小的解,另一个对应的解的数字却极其庞大。Browning 说:“这个代数结构有着丰富的内涵,隐藏着和丢番图方程毫无关系的其它数学问题,并且能够模拟计算机。”

丢番图方程的衍生问题——费马大定理在提出三百多年后终于被英国数学家 Andrew Wiles 证明,他因此获得了 2016 年阿贝尔奖。不知道 k = x³ + y³ + z³ 问题的下一个突破又会发生在什么时候呢?

参考来源

https://www.quantamagazine.org/sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326/

https://www.sciencealert.com/fiendishly-simple-math-problem-gets-new-solution-after-puzzling-world-for-centuries

https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM

https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0&feature=youtu.be

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

本文转载自公众号“科研圈”(ID:keyanquan)

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