物理学家揭开数学中的虚幻模式

撰文 | Lisa Zyga

来源 | 原理(ID:principle1687)


从贝壳的斐波那契螺旋到晶体的周期性,自然界和数学中随处可见这种呈规则的模式。但数学中的一些问题有时会“欺骗”我们,比如让我们在求解时看到一个模式,但突然间这个模式又消失了。这种虚幻的模式出现在数学的许多领域,比如说出现在某些积分中,即便是最优秀的数学家也可能受到这些积分的“欺骗”。


在一项新的研究中,两位物理学家利用物理学中的随机游动(随机漫步)概念来研究这些积分。通常来说,解决这类积分通常需要付出大量的计算和独创性,但物理学家证明,新的方法可以很直观地找到解,有时甚至不需要用到显式计算。


在最近一期的《物理评论快报》上,物理学家Satya N. MajumdarEmmanuel Trizac发表了一篇描述如何利用随机游动来求解积分的论文。


Trizac说:“我们已经证明,物理学的洞察力能让我们以一种无需计算的方式获取大量有趣的积分,而且还能获得一些之前未知的恒等式。我们的研究表明,当数学直觉受到欺骗时,物理直觉或许能挽救局面。”


Borwein积分中的模式


研究人员所讨论的积分是“Borwein积分”,这是以David BorweinJonathan Borwein父子的名字命名的,2001年,他们二人注意到这种积分中存在不同寻常的模式。Borwein积分中涉及到在光学、信号处理等领域都有着广泛应用的sinc函数(辛格函数)的乘积。这两个特殊的积分可用来计算超立方体的体积。


求解Borwein积分的过程需要用数字来替换掉变量n,每个数字都会给出一个不同的解值,数学家可以观察这些解值中的模式。例如,对于第一个积分In来说,当代入的数字 n = 1 ~ 7时,那么每次得到的结果In都等于π;但是当代入的数字变成n = 8时,In的结果就会稍稍小于π,大约是π-10⁻¹⁰。当数学家第一次在计算机上算得这个数值时,他们以为是计算软件中出现了bug。但随后的解让他们证实了这个数值的正确性,因为当n = 9,10…时,得到的解变得越来越小。


○ Borwein积分。| 图片来源:Majumdar and Trizac


有些积分的模式可以持续更长的时间,比如第二这样的积分是Jn,这一序列的前56项(通过代入用数字n=1~56所得)都是π/2,但到了第57项,Jn的结果就成了约为π/2-10⁻¹¹,随后的项变得越来越小。还有更极端的例子,Borwein积分还有一种变体的前10¹⁷⁶项都能维持常数值模式,在这之后模式才开始崩溃。


数学家可以从数学的角度解释为什么模式会突然中断。InJn这两个Borwein积分都包含函数sinc(ank),其中an = 1/(2n-1)。如果你用数字n=1,2,3, …代入式子中,就会得到序列1,1/3,1/5,1/7,1/9, …Borwein父子注意到第一项——1,不仅仅是比所有其他项都更大,它甚至大于接下来这几项之和,确切地说,1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 = 0.955…小于1。但是当把加入第8项1/15时,和的答案变成了1.02,刚好大于1。事实证明,这并非巧合,第7项也是最后一项得出积分结果为π的项,而第8项是就是模式开始崩坏的点。


Borwein二人证明了一个定理(如下图)。这个定理对第二个积分Jn同样适用。根据性质cos(a)sinc(a) = sinc(2a),Jn中的cos函数可以改为2/(2n-1),所以第一项是2而不是1。由于式子中的第2项到第56项的和小于2,但是加上第57项就会大于2,因此定理成立。


○ Borwein二人证明的定理。| 图片来源:Majumdar and Trizac


随机游走


虽然这个定理有助于解释Borwein积分中模式的暂时性中断,但关于为什么这个定理在根本上成立却仍不能完全解释清楚。


在这篇新论文中,Majumdar和Trizac将这一定理与概率论统计力学中一些的概念联系了起来,为该定理提供了一些物理直觉。他们注意到定理中的积分与均等概率分布有密切的关系。均等概率分布在科学中具有广泛的应用,具体说来,均匀概率分布的傅里叶变换恰好是sinc函数,能给出n = 1时的Borwein积分。这种关系将Borwein积分与物理世界连接了起来,因此通过使用相关的参数,遵循均等分布的事件可以用以模拟Borwein积分的解的序列。


为了在更物理的背景中描述这种联系,研究人员观察了随机漫步者。随机漫步者是一种抽象的物体,它可以向任何方向移动一定的距离,确切的距离是从一个连续取值区间中随机选取的,并且每一个值被选取的概率都是相等的(即服从均等分布)。随机漫步者可以精确地模拟各种随机现象,比如股市价格、动物觅食时候的路径,以及气体中的分子路径,这三个例子分别出现在一维、二维或三维空间中。


在这篇新的论文中,物理学家展示了用无穷多个随机漫步者的运动可以模拟Borwein积分中模式的出现和消失。首先,在一个一维的数轴上,随机漫步者在都从0点开始,每个漫步者的第一步可以向左或向右随机移动最多不超过一个单位的距离;第二步,每个漫步者可以随机移动不超过1/3个单位的距离,然后第三步、第四步、第五步分别以不超过1/5、1/7、1/9个单位的距离随机移动,以此类推。也就是说,每个可以行走的连续步长对应于表达式1/(2n-1)的值。


那么关键的问题是,在每一步之后,还在起点(原点)的随机漫步者的比例是多少?结果表明,漫步者在第n步时在原点的比例(更准确地说是概率密度)对应于使用相同n值得到的Borwein积分的解。


按照物理学家的解释,对于最先的7步来说,漫步者最终留在原点的概率密度总是1/2,它对应于上述定理中等于π的积分值。其中的关键概念是,到目前为止,在0点的漫步者的密度与整个数轴上均匀地分布着漫步者是一样的。在现实中,由于每一步的最大距离是受限的,因此只有部分数轴是可访问的,也就是说漫步者的世界是有限的。


○ 随机游走xn经过n=1,n=2,n=3步后的概率密度函数,这里步长分别为为a₁=1, a₂=1/3,a₃=1/5,原点出的密度是不变的,等于1/2,这意味着积分I=l=I=π。


然而,对于最初的7步来说,在原点的漫步者会感知的是他们的世界是无限的,因为他们没有任何关于边界存在的信息告诉它们世界是有限的。这是因为抵达了边界外(即在第一步之后为+1或-1)的漫步者是无法在7步之内返回到起点的,即使它们每一步走的都是所允许范围内的最大距离,并且都是朝着起点方向行走。也就是说,这些漫步者在第8步之前出现在起点的概率为0,所以它们不会影响随机漫步者在起始点的比例。因此对于最初的7步来说,漫步者在原点的密度被固定在1/2,,就像是受到了“保护”一样。


但是一旦那些抵达过+1或-1的漫步者回到原点,情况就会发生改变。在第8步之后,漫步者中的其中一些是有可能会回到起点的。现在,这些漫步者将扮演着“信使”的角色,它们回到起点,揭示了边界的存在,告诉了原点上的其他漫步者它们的世界是有限的,因此影响了原点上漫步者的密度。


由于一些信使漫步者回到了起点,很明显那么还有其他一些抵达了边界的漫步者没有回到起点,而是朝更远的地方继续移动了。因此,概率分布变得更加分散,导致一部分在原点的漫步者逐渐侵蚀1/2(或者说π的积分)。正是这种侵蚀作用解释了为什么当n≥8时,第一个Borwein积分的值会略有下降。这一结论也适用于第二个Borwein积分。


通过将Borwein积分与随机漫步者的概率联系起来,新的结果提供了一种完全不同于直接计算的方法来求解这些积分。除了在这里描述的两个积分外,这种方法还可以应用于许多其他积分,甚至能扩展到更高的维度上。研究人员认为,这种方法有潜力为许多难以计算的积分提供无需计算的解决方案。


Trizac说:“随机游走问题及其无限分支构成了现代物理学的基石之一,它在物理、化学、生物、工程等领域都有着广泛的应用。由于我们对积分的推导涉及到随机游走理论中的基本概念,我们期望在不久的将来,这种思想也可以推导出新的恒等式和积分,并应用于现实世界。”


原文链接:

https://phys.org/news/2019-07-illusive-patterns-math-ideas-physics.html


本文转载自公众号“原理”(ID:principle1687)


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