铀核系统与鸡的视网膜有什么关系?


作者丨Kevin Hartnett

翻译丨Nuor

审校丨Nothing

来源丨中科院物理所(ID:cas-iop)


在导体中电子的运动很难被准确计算。因为在电线中,电子之间有着复杂的相互作用,因此无法准确得知其具体运动状态。


但在过去的50年中,物理和数学家们开始发现,这一复杂的运动能能够用优雅的统计学模式来解释。电子在导体和绝缘体中的运动可以分别用两种统计学模式来解释。


在过去的半个世纪里,数学家们一直在寻找并证明这个设想的模型确实存在。


在去年夏天网上发表的一篇论文中,有三位数学家做的工作很接近这个模型。在这项工作中,纽约大学的Paul Bourgade  和哈佛大学的Horng-Tzer Yau以及加利福尼亚大学的Jun Yin证明存着一种被称为“普遍性(universality)”的数学特征能够刻画材料的导电性能。


Paul Bourgade, 纽约大学数学家,发现真实世界系统中普遍模式三个研究人员之一


新西兰普林斯顿高级研究所的数学家汤姆·斯宾塞(Tom Spencer)说:“他们所做的是数学上的一个大突破......首先解释了材料的导电性,其次,这种性质具有普遍性。”


该论文是著名的物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)在20世纪60年代提出的量子物理学宏观性质的最新证明。 维格纳清楚量子相互作用太复杂而无法准确描述,但他希望这些相互作用的本质可以被更广泛的统计学清楚的刻画。


也因此,这项工作的出现甚至会让维格纳感到惊讶,因为这代表他所期待的统计描述被找到了。



神奇的特性


即使是孤立和不相关的事件之间也可能有着可预测的统计。以谋杀案为例,对于每种罪行,都有其独特的环境和情况。然而,一个人可以通过统计犯罪时城市中夏天的炎热程度从而预测下一起谋杀案的时间。


独立事件可以遵循不同类型的统计模式。其中最著名的统计模式是正态分布,其表现为钟形分布,描述了各种不相关事件的统计分布(例如人群的身高或者SAT的分数)。还有Zipf定律,描述了自然语言语料库里,一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比(二八定律),Benford定律描述自然数据集中的第一个数字的分布规律。


在20世纪50年代,维格纳面临一个问题。在他发起曼哈顿计划十多年后,他想模拟铀核内数百个粒子之间的相互作用。但是问题太复杂,没有办法直接解决。因此需要一个新的统计模式的帮助来解决它。


“多体系统是一件复杂的事情,我们不知道如何从第一性原理来理解它。“斯宾塞说。


所以,维格纳简化了问题:他忽略了单个粒子相互作用,集中在更易于处理的整个系统的平均统计行为上


维格纳使用数字网格实现了这个设想,这些数字指定了粒子如何相互作用。该网格称为矩阵。这就像薛定谔方程的技术附录,薛定谔方程是用于描述亚原子粒子行为的方程式。通过精确指定矩阵中的数字,可以准确指明相互作用。


维格纳无法做到这一点,所以他用随机数填充矩阵。他希望这种简化能使他继续进行计算,并且最后仍然能够产生有用的铀核描述参数。



通用模式


导体中有电子流动,但是绝缘体中没有。研究人员建立一个高维矩阵来定义其本征值的特征,从而为这两个系统建模。数学家们发现,两个系统的本征值看起来不同。


绝缘体


绝缘体中,电子倾向于局域在某个区域,这个局域反映在数学上代表其本征值的不均匀性。



导体


导体中,电子为巡游态。电子的自由运动反映在数学上就是其具有规则分布的本征值。


 

它能做什么?维格纳发现他可以从随机矩阵中抽取特定的模式。模式包含特征值,就像矩阵的“DNA”一样。令人费解的是,随机矩阵的特征值之间具有相关性。在数轴上,特征值似乎表现出一定程度的规则间距,其从不聚集在一起,也不会分开太远。它们几乎就像磁铁一样,相互之间隔开一个均匀的间距,由此产生分布被称为Wigner-Dyson-Mehta分布(以三位为其发现做出杰出贡献的物理学家命名)。其描述了一种被称为普遍性(universality)的现象。


为了理解普遍性的概念,可以以人的身高为例。在现实世界中,如果你从人民广场上随机选取两个人,很有可能找到一对身高相同的人。但是如果人口遵循Wigner-Dyson-Mehta分布,随机选取的两个人身高并不相同,因为其分布要求选取的第一个人的身高总是与第二个人的身高不一样。


普遍性可以描述许多类型的事情:雪崩的大小和频率,交通系统中公交车的时间表,甚至是鸡视网膜中的细胞间距。普遍性通常涉及复杂的相互关联系统


什么是普遍性(来源:youtube


维格纳根据铀核建模的经验,假设随机矩阵能够描述任何关联粒子的量子系统(意味着所有的粒子都会影响其他粒子)。“维格纳的伟大设想是:对于高度相关联的量子系统,其特征值分布的矩阵将类似于随机矩阵。”Yau说。


(后来研究人员从另外一种角度解释:他们推测当物理系统中的粒子以不关联的方式运动时,就像它们在绝缘体中一样,特征值会呈现泊松分布,与正态分布相关。)


当材料导电时,正是因为电子之间有一种与有序关联的相互作用(彼此之间连接,携带电流传导),因此维格纳的猜想表明如果量子系统的本征值普遍存在,那么就能够证明系统内的粒子以相关联的方式作用,从而说明系统是个导体。


数学家和物理学家几乎立刻开始补充他的猜想中的细节,但是对于现实中的导体,数学家们花了半个世纪来证明有关的统计规律。



破碎的简洁性


当数学家构造物理模型时,他们会想办法让模型尽可能地接近现实。维格纳的铀原子核模型在一定意义上来说就不是一个贴近现实的模型,因为它包含了一个假设,即每个粒子都等可能地与其它粒子发生相互作用。这就忽视了一个事实:在实际材料中,距离较近的粒子会比距离较远的粒子更可能发生相互作用。对此,斯宾塞评价道:“由于维格纳模型中的粒子都被紧紧地束缚在原子核这一很小的区域,所以每个粒子都和其它粒子发生相互作用。因此,他没有考虑任何空间结构。”


像这种没有考虑粒子间距的物理模型叫做“平均场”模型。它们使用起来相对简单,但和现实的联系却是飘渺而难以捉摸的。


Bourgade也承认:“平均场模型中没有几何因素;我们做了一个很大的简化,即认为材料中的所有原子都以同样的方式和其它原子发生相互作用。”


在十年前发表的两篇文章中,数学家证明了导体的本征值遵从维格纳所构造的普遍的相互作用模式,但是这个证明只适用于平均场模型。这样一来,在非平均场模型中(粒子只可以和它周围的粒子发生相互作用),证明本征值的普遍存在,便成为了一个与现实联系更紧密但悬而未决的问题。


这篇新的文章几乎解决了这个问题。这三位作者使用了这样一个模型:粒子和其周围的粒子发生相互作用,但是并不会和系统中所有粒子发生相互作用。描述这种相互作用的矩阵就叫做“随机带”矩阵(“带”指的是每个粒子附近存在相互作用的区域)。Yau对此评价道:“带矩阵有这样一个特定的结构:粒子只与其近邻粒子相互作用。”


在特定的随机带中(这些带具有最小宽度),这几位作者证明本征值仍然遵从维格纳在平均场模型中的矩阵所观测到的分布。这表明尽管你限制电子只和它附近的粒子发生相互作用,但整个物理系统仍然保持着同样的平均统计行为(即有着同样的本征值分布),这和维格纳在他那更简单的框架下发现的结果一样。


“我们证明了在随机带模型中,本征值均匀分布……这意味着导电”,Bourgade说到。Bourgade、Yin和Yau想把这项工作拓展到完全非平均场的情形,从而揭开导电和它的数学表示之间的关系。当维格纳第一次发现近似均匀分布的本征值时,这种对应是十分严格的以至于看上去是不合适的。现在,它感觉上是不可避免的。


“我仍然对维格纳的正确预见感到惊讶,” Bourgade在一封电子邮件中写道。


原文来源:

https://www.quantamagazine.org/universal-pattern-explains-why-materials-conduct-20190506/


本文转载自公众号“中科院物理所”(ID:cas-iop)

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